(Ⅰ)舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項);
(Ⅱ)若“絕對差數(shù)列”{an}中,a20=3,a21=0,數(shù)列{bn}滿足bn=an+ an+1 + an+2,n=1,2,3,…,分別判斷當n→∞時,an與bn的極限是否存在,如果存在,求出其極限值;
(Ⅲ)證明:任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項.
(Ⅰ)解:a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1
(答案不惟一)
(Ⅱ)解:因為在絕對差數(shù)列{an}中,a20=3,a21=0,所以自第20項開始,該數(shù)列是a20=3,a21=0,a22=3,a23=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=0,….
即自第20項開始,每三個相鄰的項周期地取值3,0,3,所以當n→∞時,an的極限不存在.
當n≥20時,bn=an+an+1+an+2=6,所以.
(Ⅲ)證明:根據(jù)定義,數(shù)列{an}必在有限項后出現(xiàn)零項.證明如下:
假設{an}中沒有零項,由于an=|an-1-an-2|,所以對于任意的n,都有an≥1,從而
當an-1>an-2時,an=a n-1-a n-2≤an-1-1(n≥3);
當an-1<an-2時,an=a n-2-a n-1≤an-2-1(n≥3),
即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1.
令cn=
則0<cn≤cn-1-1(n=2,3,4…).
由于c1是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項ck<0,這與cn>0(n=1,2,3……)矛盾.從而{an}必有零項.
若第一次出現(xiàn)的零項為第n項,記an-1=A(A≠0),則自第n項開始,每三個相鄰的項周期地取值0,A,A,即
所以絕對差數(shù)列{an}中有無窮多個為零的項.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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