Question

已知函數f（x）=（ax²+2x-a）e^x，g（x）=

1

2

f（lnx），其中a∈R，e=2.71828…為自然對數的底數．
（Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象在點M（2，f（2））處的切線過坐標原點，求實數a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=0時，對于滿足0＜x₁＜x₂的兩個實數x₁，x₂，若存在x₀＞0，使得g′（x₀）=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

成立，試比較x₀與x₁的大�。�

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導函數f'（x）=[ax²+2（a+1）x+2-a]e^x，通過f'（2），求出函數y=f（x）的圖象在點M（2，f（2））處的切線方程，通過切線過坐標原點，求出a即可．
（Ⅱ）通過f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數，只要f'（x）≥0，構造Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a
通過①當a=0時，推出函數f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數．
②當a＞0時，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a，利用二次函數的性質，Γ（x）_min=Γ（-1）=-2a≥0⇒a≤0
推出矛盾．
③當a＜0時，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a類比②，得到結果．
（Ⅲ）利用g(x)=

1

2

f(lnx)=xlnx，g'（x）=lnx+1．通過導數的幾何意義，說明存在x₀＞0，使得lnx0+1=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，然后構造函數，利用新函數的導數，判斷函數的單調性，然后推出x₀＞x₁即可．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax²+2x-a）e^x，∴f'（x）=[ax²+2（a+1）x+2-a]e^x
則f'（2）=（7a+6）e²，f（2）=（3a+4）e²
∴函數y=f（x）的圖象在點M（2，f（2））處的切線為：y-f（2）=（7a+6）e²（x-2）
∵切線過坐標原點，0-f（2）=（7a+6）e²（0-2），
即（3a+4）e²=2（7a+6）e²，∴a=-

8

11

…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=[ax²+2（a+1）x+2-a]e^x
要使f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數，只要ax²+2（a+1）x+2-a≥0
令Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a
①當a=0時，Γ（x）=2x+2，在[-1，1]內Γ（x）≥Γ（-1）=0，∴f'（x）≥0
函數f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數…（4分）
②當a＞0時，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a是開口向上的二次函數，
其對稱軸為x=-(1+

1

a

)＜-1，
∴Γ（x）在[-1，1]上遞增，為使f（x）在[-1，1]上單調遞增，
必須Γ（x）_min=Γ（-1）=-2a≥0⇒a≤0
而此時a＞0，產生矛盾
∴此種情況不符合題意            …（6分）
③當a＜0時，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a是開口向下的二次函數，
為使f（x）在[-1，1]上單調遞增，必須f'（x）≥0，即Γ（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
∴

Γ(1)≥0 Γ(-1)≥0

⇒

2a+4≥0 -2a≥0

又a＜0，∴-2≤a＜0
綜合①②③得實數a的取值范圍為[-2，0]…（8分）
（Ⅲ）g(x)=

1

2

f(lnx)=xlnx，g'（x）=lnx+1．
因為對滿足0＜x₁＜x₂的實數x₁，x₂，存在x₀＞0，使得g′(x0)=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

成立，
所以lnx0+1=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，即lnx0+1=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

，
從而lnx0-lnx1=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

-1-lnx1=

x2lnx1-x2lnx2+x2-x1

x1-x2

=

ln x1 x2 +1- x1 x2

x1 x2 -1

．…（11分）
設φ（t）=lnt+1-t，其中0＜t＜1，則φ′(t)=

1

t

-1＞0，
因而φ（t）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，φ（t）＜φ（1）=0，
∵0＜x₁＜x₂，∴0＜

x1

x2

＜1，從而φ(

x1

x2

)=ln

x1

x2

+1-

x1

x2

＜0，又

x1

x2

-1＜0
所以lnx₀-lnx₁＞0，即x₀＞x₁…（14分）

點評：本題考查函數的導數的綜合應用，切線方程的求法，構造法的應用，導數的幾何意義，考查函數的單調性的應用，轉化思想的應用．