Question

橢圓c：（a>b>0）的離心率為，過其右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1，

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線x=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn).

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.

（2）設(shè)Ｐ（１，ｔ）,則直線，聯(lián)立直線PA方程和橢圓方程可得，同理得到，由橢圓的對(duì)稱性可知這樣的定點(diǎn)在軸，不妨設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為Ｑ，由，求得m的存在即可.

試題解析：（1）依題意

過焦點(diǎn)Ｆ與長(zhǎng)軸垂直的直線ｘ＝ｃ與橢圓

聯(lián)立解答弦長(zhǎng)為＝１， 2分

所以橢圓的方程. 4分

（2）設(shè)Ｐ（１，ｔ）

，直線，聯(lián)立得：

即，

可知所以，

則 6分

同理得到 8分

由橢圓的對(duì)稱性可知這樣的定點(diǎn)在軸，

不妨設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為Ｑ， 10分

又， ，

，，. 12分

考點(diǎn)：1.橢圓方程的性質(zhì)；2.點(diǎn)共線的證法.