Question

已知命題A：函數(shù)f（x）=x²-4mx+4m²+2在區(qū)間[-1，3]上的最小值為2；命題B：g（x）=

2x-m，x≥m m，x＜m

且g（x）＞1對任意x∈R恒成立；命題C：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²-4≥0}．
（1）若A、B、C中至少有一個為真命題，試求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若A、B、C中恰有一個為假命題，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出A為真時，實數(shù)m的取值范圍；根據(jù)分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出B為真時，實數(shù)m的取值范圍；根據(jù)子集的定義，求出C為真時，實數(shù)m的取值范圍；
（1）求出A、B、C全為假時，實數(shù)m的取值范圍，其補集即為所求；
（2）分別求出A真，B，C為假，B真，A，C為假，C真，A，B為假時，實數(shù)m的取值范圍，綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²-4mx+4m²+2在當x=2m時，取最小值2，
若函數(shù)f（x）=x²-4mx+4m²+2在區(qū)間[-1，3]上的最小值為2，
則2m∈[-1，3]，
即命題A為真時，m∈[-

1

2

，

3

2

]，
則命題A為假時，m∈（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞），
若g（x）=

2x-m，x≥m m，x＜m

且g（x）＞1對任意x∈R恒成立，則m＞1，
即命題B為真時，m∈（1，+∞），
則命題B為假時，m∈（-∞，1]，
若{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²-4≥0}=（-∞，-2]∪[2，+∞）．
則m＞2m+1，或m≤2m+1≤-2，或2≤m≤2m+1，
解得：m∈（-∞，-1）∪[2，+∞），
即命題C為真時，m∈（-∞，-1）∪[2，+∞），
則命題C為假時，m∈[-1，2），
（1）若A、B、C全為假命題，則m∈[（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞）]∩（-∞，1]∩[-1，2）=[-1，-

1

2

），
故A、B、C中至少有一個為真命題時，m∈（-∞，-1）∪[-

1

2

，+∞），
（2）若A真，B，C為假，則m∈[-

1

2

，

3

2

]∩（-∞，1]∩[-1，2）=[-

1

2

，1]，
若B真，A，C為假，則m∈[（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞）]∩（1，+∞）∩[-1，2）=（

3

2

，2），
若C真，A，B為假，則m∈[（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞）]∩（-∞，1]∩[（-∞，-1）∪[2，+∞）]=（-∞，-1]，
綜上所述，若A、B、C中恰有一個為假命題，則m∈（-∞，-1]∪[-

1

2

，1]∪（

3

2

，2）

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問題，子集的定義，綜合性強，難度中檔．