Question

如圖，在四棱柱ABCD-PGFE中，側棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．
（Ⅰ）求PC與AB所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角E-AC-B的正弦值．

Answer 1

分析：（I）以A為坐標原點，以AD，AB，AP分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，然后分別求出四棱柱ABCD-PGFE中，各頂點的坐標，進而求出直線PC與AB的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出PC與AB所成角的余弦值；
（Ⅱ）分別求出直線BC的方向向量和平面PAC的法向量，證明兩個向量共線（平行），即可得到BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）分別求出平面EAC和平面ABC的法向量，代入向量夾角公式，求出二面角E-AC-B的余弦值，再利用同角三角函數(shù)關系，即可得到二面角E-AC-B的正弦值．

解答：解：以A為坐標原點，以AD，AB，AP分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，
∵底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（1，0，1），F(xiàn)（1，1，1），G（0，2，1），P（0，0，1）
（I）則

PC

=（1，1，-1），

AB

=（0，2，0）
設PC與AB所成角為θ，則cosθ=|

PC • AB

| PC |•| AB |

|=

3

3

即PC與AB所成角的余弦值為

3

3

；
（II）

BC

=（1，-1，0），

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0）
設平面PAC的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AP =0 n • AC =0

即

z=0 x+y=0

，
令x=1，則

n

=（1，-1，0），
∵

BC

=

n

∴BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）由已知中PA⊥底面ABCD可得

AP

=（0，0，1）為平面ACB的一個法向量
由

AE

=（1，0，1），設平面EAC的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AE =0 n • AC =0

即

x+z=0 x+y=0

令x=1，則

n

=（1，-1，-1），
設二面角E-AC-B的平面角為θ
則cosθ=

n • AP

| n |•| AP |

=

-1

3

=-

3

3

則二面角E-AC-B的正弦值為

6

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中建立適當?shù)目臻g坐標系，將線面關系的判定及線面夾角的求解轉化為向量關系及向量夾角的求解是解答本題的關鍵．