Question

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形ABCD（如圖所示，其中O為圓心，C，D在半圓上），設∠BOC=θ，木梁的體積為V（單位：m³），表面積為S（單位：m²）．
（1）求V關于θ的函數(shù)表達式；
（2）求θ的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出梯形ABCD的面積，可求V關于θ的函數(shù)表達式；
（2）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求θ的值，使體積V最大；
（3）求出木梁的側面積，可得表面積，求出設g（θ）=cosθ+2sin

θ

2

+1的最大值，即可得出結論．

解答： 解：（1）梯形ABCD的面積S=

2cosθ+2

2

•sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，

π

2

）．            …（2分）
體積V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，

π

2

）．                                  …（3分）
（2）V′（θ）=10（2cos²θ+cosθ-1）=10（2cosθ-1）（cosθ+1）．
令V′（θ）=0，得cosθ=

1

2

，或cosθ=-1（舍）．
∵θ∈（0，

π

2

），∴θ=

π

3

．                                      …（5分）
當θ∈（0，

π

3

）時，

1

2

＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）為增函數(shù)；
當θ∈（

π

3

，

π

2

）時，0＜cosθ＜

1

2

，V′（θ）＜0，V（θ）為減函數(shù)．          …（7分）
∴當θ=

π

3

時，體積V最大．                                   …（8分）
（3）木梁的側面積S_側=10（AB+2BC+CD）=20（cosθ+2sin

θ

2

+1），θ∈（0，

π

2

）．
∴表面積S=2（siθcosθ+sinθ）+20（cosθ+2sin

θ

2

+1），θ∈（0，

π

2

）．…（10分）
設g（θ）=cosθ+2sin

θ

2

+1，θ∈（0，

π

2

）．
∵g（θ）=-2sin²

θ

2

+2sin

θ

2

+2，
∴當sin

θ

2

=

1

2

，即q=

π

3

時，g（q）最大．                        …（12分）
又由（2）知θ=

π

3

時，sinθcosθ+sinθ取得最大值，
∴θ=

π

3

時，木梁的表面積S最大．                           …（13分）
綜上，當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大．              …（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查導數(shù)知識，考查學生分析解決問題的能力，確定函數(shù)模型是關鍵．