Question

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）若，且          對(duì)任意恒成立，求的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明．

Answer 1

（1）．（2）整數(shù)的最大值是3．（3）見解析

第一問中利用，，以及函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為3，所以，得a=1
第二問中利用對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來判定單調(diào)性求解最值。第三問中，由（2）知，是上的增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，
然后分析得證。
（1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213906121769.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．…………………1分
因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為3，
所以，即．所以．……………………………2分
（2）解：由（1）知，，
所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．………………………3分
令，則，…………………………………4分
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．……………5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232139082591190.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，…6分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．…7分
所以．故整數(shù)的最大值是3．……8分
（3）證明1：由（2）知，是上的增函數(shù)，……………9分
所以當(dāng)時(shí)，．………………10分
即．整理，得
．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213909039450.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
即．即．所以．
證明2：構(gòu)造函數(shù)
，…………………………9分
則．……………………………10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213909241543.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213909039450.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以．
所以
．
即．
即．即．
所以．