Question

【題目】定義在R上的函數(shù)和二次函數(shù)滿足：，，

（1）求和的解析式；

（2）若對于，，均有成立，求a的取值范圍；

（3）設(shè)，在（2）的條件下，討論方程的解的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）通過代替，推出方程，求解函數(shù)的解析式．利用是二次函數(shù)，且，可設(shè)，然后求解即可．

（2）設(shè)，，轉(zhuǎn)化條件為當(dāng)時，，通過函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，列出關(guān)系式即可求出實數(shù)的取值范圍．

（3）設(shè)，由（2）知，畫出函數(shù)在的圖象，設(shè)，則當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，分別判斷函數(shù)的圖象交點(diǎn)個數(shù)，得到結(jié)論．

解：（1），①，即，②

由①②聯(lián)立解得：．

是二次函數(shù)，且，可設(shè)，

由，解得．

，．

（2）設(shè)，，

依題意知：當(dāng)時，

，在上單調(diào)遞增，

，解得：

實數(shù)的取值范圍為．

（3）設(shè)，由（2）知，的圖象如圖所示：

設(shè)，則

當(dāng)，即時，，，有兩個 解，有3個解；

當(dāng)，即時，且，有3個解；

當(dāng)，即時，，有2個解；

當(dāng)，即時，，有1個解．

綜上所述：

當(dāng)時，方程有5個解；

當(dāng)時，方程有3個解．