Question

【題目】已知橢圓經過點，的四個頂點圍成的四邊形的面積為.

（1）求的方程；

（2）過的左焦點作直線與交于、兩點，線段的中點為，直線（為坐標原點）與直線相交于點，是否存在直線使得為等腰直角三角形，若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線的方程為或.

【解析】

（1）由題中條件得出關于、的方程組，解出與的值，可得出橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，設點，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出線段的中點的坐標，得出直線的方程，可求出點的坐標，利用斜率關系得知，由此得出，利用距離公式可求出的值，即可對問題進行解答.

（1）依題意，得，，將代入，

整理得，解得，所以的方程為；

（2）由題意知，直線的斜率不為，設，，.

聯立方程組，消去，整理得，

由韋達定理，得，.

所以，，

即，所以直線的方程為，

令，得，即，所以直線的斜率為，

所以直線與恒保持垂直關系，故若為等腰直角三角形，只需，

即，

解得，又，所以，所以，

從而直線的方程為或.