Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=a（2x-x²）（a≠0，a∈R）．
（1）若關于x的不等式g（x）≤bx-2的解集為{x|-2≤x≤-1}，求實數(shù)a，b的值；
（2）若對于任意的x＞3，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由不等式的解集，得ax²-（2a-b）x-2=0的兩個根分別為-2，-1，運用韋達定理，即可得到a，b；
（2）對于任意的x＞3，f（x）≤g（x）恒成立等價于a≤

ln(x+1)

2x-x2

=m（x）恒成立．運用導數(shù)判斷m（x）的單調(diào)性，即可得到最小值，令a不大于它即可．

解答： 解：（1）g（x）≤bx-2等價于ax²-（2a-b）x-2≥0，
由題可知ax²-（2a-b）x-2=0的兩個根分別為-2，-1，
∴

2a-b

a

=-3，-

2

a

=2，
∴a=-1，b=-5；
（2）對于任意的x＞3，f（x）≤g（x）恒成立等價于a≤

ln(x+1)

2x-x2

=m（x）恒成立．
m'（x）=

2x-x2-2(1-x2)ln(1+x)

(x+1)(2x-x2)2

，
令n（x）=2x-x²-2（1-x²）ln（1+x），
n'（x）=4xln（1+x）＞0且n（0）=0，
∴n（x）＞0，
∴m'（x）＞0，m（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a≤m（3）=-

2

3

ln2，
即a的取值范圍是（-∞，-

2

3

ln2]．

點評：本題考查二次不等式的解法，考查不等式恒成立問題，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的導數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，考查運算能力，屬于中檔題．