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已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為。

（1）求數列的首項和公比；

（2）對給定的，設是首項為，公差為的等差數列，求的前2007項之和；

（3）（理）設為數列的第項，：

①求的表達式，并求出取最大值時的值。

②求正整數，使得存在且不等于零。

（文）設為數列的第項，：求的表達式，并求正整數，使得存在且不等于零。

（1）（2）（3）見解析


解析:

(1)依題意可知,。

(2)由(1)知,,所以數列的的首項為,公差,

,即數列的前項之和為。

(3) （理）===；

①；

由，解得，

計算可得，

因為當時，，所以當時取最大值。

②=，

當時，=－，當時，=0，所以。

（文）===；

；

=，

當時，=－，當時，=0，所以。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•普陀區(qū)一模）定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{an}的首項、公比均為
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．
（1）試求無窮等比子數列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數列{an}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為
1
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？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{an}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（09年雅禮中學月考理）（13分）

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．已知無窮等比數列的首項和公比均為．

   （１）試求無窮等比子數列（）各項的和；

   （２）已知數列的一個無窮等比子數列各項的和為，求這個子數列的通項公式；

   （３）證明：在數列的所有子數列中，不存在兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和相等．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{an}的首項、公比均為數學公式．
（1）試求無窮等比子數列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數列{an}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為數學公式？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{an}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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科目：高中數學 來源：2009年上海市普陀區(qū)高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{an}的首項、公比均為．
（1）試求無窮等比子數列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數列{an}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{an}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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科目：高中數學 來源：2009年上海市普陀區(qū)高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{an}的首項、公比均為．
（1）試求無窮等比子數列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數列{an}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{an}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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