已知:如圖,長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),,.
 。1) 求異面直線(xiàn)所成角的余弦值;
 。2) 證明平面;
 。3) 求二面角的正弦值.
                  

 解:
  法一:
  如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
  設(shè),
  依題意得,,,
  (1)易得,,
     于是
     所以異面直線(xiàn)所成角的余弦值為
 。2)已知,
     ,
     于是·=0,·=0.
     因此,,,又
     所以平面
  (3)設(shè)平面的法向量,則,即
     不妨令X=1,可得。
     由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量。
     于是,從而,
     所以二面角的正弦值為
  法二:
  (1)設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
     連接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,
     由,可知EF∥BC1.
     故是異面直線(xiàn)EF與A1D所成的角,
     易知BM=CM=,
     所以 ,
     所以異面直線(xiàn)FE與A1D所成角的余弦值為
 。2)連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?img width=97 height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2010/12/20/17/2010122017372243143244.files/image198.gif' >,
     所以,從而,
     又由于,所以,
     故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.
     連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,
     所以AF⊥A1D因?yàn)?img width=99 height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2010/12/20/17/2010122017372243143244.files/image204.gif' >,所以AF⊥平面A1ED.
  (3)連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,
     又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,
     故為二面角A1-ED-F的平面角.
     易知,所以,
     又所以
     在
     ,
     連接A1C1,A1F 在
     。所以
     所以二面角A1-DE-F正弦值為.

  

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1
3
AC,BD=
1
3
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1
3
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 。1) 求異面直線(xiàn)所成角的余弦值;

 。2) 證明平面;

 。3) 求二面角的正弦值.

                  

 

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