已知:如圖,長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),,.
。1) 求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值;
。2) 證明平面;
。3) 求二面角的正弦值.
解:
法一:
如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),
依題意得,,,
(1)易得,,
于是
所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為
。2)已知,
,
于是·=0,·=0.
因此,,,又
所以平面
(3)設(shè)平面的法向量,則,即
不妨令X=1,可得。
由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量。
于是,從而,
所以二面角的正弦值為
法二:
(1)設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
連接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,
由,可知EF∥BC1.
故是異面直線(xiàn)EF與A1D所成的角,
易知BM=CM=,
所以 ,
所以異面直線(xiàn)FE與A1D所成角的余弦值為
。2)連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?img width=97 height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2010/12/20/17/2010122017372243143244.files/image198.gif' >,
所以,從而,
又由于,所以,
故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.
連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,
所以AF⊥A1D因?yàn)?img width=99 height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2010/12/20/17/2010122017372243143244.files/image204.gif' >,所以AF⊥平面A1ED.
(3)連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,
又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,
故為二面角A1-ED-F的平面角.
易知,所以,
又所以,
在
,
連接A1C1,A1F 在
。所以
所以二面角A1-DE-F正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年北京四中高三第一學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分13分)
已知:如圖,長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),,.
。1) 求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值;
。2) 證明平面;
。3) 求二面角的正弦值.
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