Question

（本小題滿分14分）已知函數f（x）=x-1-lnx

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的極值；

（3）對恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）x-2y-2ln2=0,；（2）函數y=f（x）的極小值為f（1）=0, 無極大值；（3）

【解析】

試題分析：（1）函數的定義域為， ，

∴曲線y=f（x）在點（2,f（2））處的切線方程為，

即x-2y-2ln2=0,

（2）令，得x=1，

列表：

x	（0,1）	1
	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函數y=f（x）的極小值為f（1）=0, 無極大值。

（3）依題意對恒成立

等價于在上恒成立

可得在上恒成立，

令,

令，得

列表：

x
	-	0	+
g（x）	↘		↗

∴函數y=g（x）的最小值為,

根據題意，．

考點：本題考查利用導數研究函數的極值，最值；函數恒成立的問題；利用導數研究曲線的切線方程

點評：解決本題的關鍵是掌握導數的幾何意義；以及求極值的思路；解決恒成立的問題，分離參數轉化為函數的最值問題