Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為a₁,公比q(q≠1)為正數(shù)的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為S_n,且有5S₂＝4S₄,設(shè)b_n＝q+S_n.

(1)求q的值.

(2)數(shù)列{b_n}能否是等比數(shù)列?若是,請求出a₁的值;若不是,請說明理由.

Answer 1

解:(1)由題意,知5S₂＝4S₄,

,

∴5(1-q²)＝4(1-q⁴),得.

又q＞0,∴.

(2)是.理由如下：方法一:∵,

于是b_n＝q+S_n＝+2a₁-a₁()^n-1,

若b_n是等比數(shù)列,則,

即,

此時,b_n＝()ⁿ⁺¹,

∵,

∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列.

∴存在實(shí)數(shù),使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列.

方法二:由于b_n＝+2a₁-a₁()^n-1,

∴,,.

若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列,則b₂²＝b₁·b₃,

即,

整理,得4a₁²+a₁＝0,解得或a₁＝0(舍去),

此時b_n＝()ⁿ⁺¹.

故存在實(shí)數(shù),使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列.