Question

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，若對任意的實數(shù)，存在常數(shù)使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，則稱f（x）是一個“關(guān)于t函數(shù)”，下列“關(guān)于t函數(shù)”的結(jié)論正確的是（　　）

• A、f（x）=2不是“關(guān)于t函數(shù)”
• B、f（x）=x是一個“關(guān)于t函數(shù)”
• C、“關(guān)于

  1

  2

  函數(shù)”至少有一個零點
• D、f（x）=sinπx不是一個“關(guān)于t函數(shù)”

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“關(guān)于t函數(shù)的概念”可知，只有存在常數(shù)t，使得f（t+x）+tf（x）=0恒成立即可．依此逐項求t即可．

解答： 解：對于A：f（x）=2時，令t=-1，可知f（x-1）=-（-1）f（x）=f（x）=2．故該函數(shù)是一個“關(guān)于-1函數(shù)”，所以A錯；
對于B：對于函數(shù)f（x）=x，假設(shè)存在t，使得該函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”，即x+t+tx=0恒成立，即（t-1）x+t=0恒成立，因此需滿足

t-1=0 t=0

，無解．所以B錯；
對于C：因為是“關(guān)于

1

2

函數(shù)”，所以f（x+

1

2

）=-

1

2

f（x）恒成立，不妨取x=x₀，且f（x₀），所以

f(x0+ 1 2 )

f(x0)

=-

1

2

＜0，所以f(x0+

1

2

)f(x0)＜0，故在區(qū)間（x₀，x₀+

1

2

）必有零點．故C正確．
對于D：當(dāng)t=1時，有sinπ（x+1）=sin（πx+π）=-sinπx恒成立．即t=1，所f（x）=sinπx是一個“關(guān)于1函數(shù)”．故D錯誤．
故選C．

點評：本題是一個新定義題目，要注意給的定義式是一個恒等式，需要在解題時引起注意．