Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=0有實根．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值M（a）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令t=2^x，（t＞0），函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1+1可化為y=t²-2at+1，結(jié)合函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=0有實根．分別求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
（2）當x∈[0，2]時，t∈[1，4]，結(jié)合函數(shù)y=t²-2at+1的圖象和性質(zhì)及（1）中a的范圍，可得答案．

解答： 解：（1）∵令t=2^x，（t＞0），則y=f（x）=4^x-a•2^x+1+1=t²-2at+1，
∵f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y=t²-2at+1，在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a≤4，
若f（x）=0有實根，則y=t²-2at+1有正根，
則

△=4a2-4≥0 2a＞0

解得：a≥1，
綜上可得實數(shù)a的取值范圍為[1，4]，
（2）當x∈[0，2]時，t∈[1，4]，
∵y=t²-2at+1的圖象開口朝上，且以直線x=a為對稱軸，
若a∈[1，2]，則M（a）=17-8a，
若a∈（2，4]，則M（a）=2-2a．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，換元法，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．