Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P是橢圓上一點，點M是線段PF₁的中點，且|OF₁|=2|OM|，OM⊥PF₁，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  3

  -1
• B、

  3

  3

• C、

  2

  -1
• D、

  2

  2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知條件利用橢圓定義推導出

3

c+c=2a，由此能求出橢圓的離心率．

解答： 解：如圖，∵橢

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點
分別是F₁、F₂，O為坐標原點，
點P是橢圓上的一點，點M為PF₁的中點，
|OF₁|=2|OM|，且OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，|PF₂|=c，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=

3

c，
由橢圓定義知

3

c+c=2a，∴a=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

3

-1．
故選：A．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)形結合思想的合理運用．