Question

過以AB為直徑的圓上C點作直線交圓于E點，交AB延長線于D點，過C點作圓的切線交AD于F點，交AE延長線于G點，且GA=GF．
（Ⅰ）求證CA=CD；
（Ⅱ）設H為AD的中點，求證BH•BA=BF•BD．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：（I）由于GF是圓的切線，可得∠CGE=∠GAC，可得∠DCF=∠GAC．由GA=GF，可得∠GAF=∠AFG．再利用三角形的外角定理即可證明．
（II）連接CH，CB．由CA=CB，AB=BD．可得CH⊥AD．利用射影定理可得CB²=BH•BA．利用△BCF∽△BDC．可得

BC

BD

=

BF

BC

，即可證明．

解答： （I）解：∵GF是圓的切線，∴∠CGE=∠GAC，
又∵∠CGE=∠DCF，
∴∠DCF=∠GAC．
∵GA=GF，
∴∠GAF=∠AFG．
又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，
∴∠CAF=∠D．
∴CA=CD．
（II）證明：連接CH，CB．
∵CA=CB，AB=BD．
∴CH⊥AD．
由AB為圓的直徑，∴∠ACB=90°，
∴CB²=BH•BA．
∵∠BCF=∠CAB=∠D，
∴△BCF∽△BDC．
∴

BC

BD

=

BF

BC

，
∴BC²=BF•BD，
∴BH•BA=BF•BD．

點評：本題考查了三角形的外角定理、圓的弦切角定理、圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、射影定理、三角形相似的性質(zhì)定理，考查了推理能力，屬于中檔題．