Question

如下圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，點(diǎn)在正方體的棱上．

(1)當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；

(2)當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？

Answer 1

答案：略
解析：

解：設(shè)正方體的棱長為． (1)當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是． 因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)． 　　　　　　　　． 當(dāng)時(shí)，的最小值為．即 點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，有最小值． (2)因?yàn)辄c(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，是定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，最短．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，是等腰三角形．所以，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值． (3)當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值仍然是． 證明：如下圖，設(shè)．由正方體的對(duì)稱性，顯然有． 設(shè)在平面上的射影是．在中，，所以，即有． 所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是． 由已知，可設(shè)，則 　　　　　　　　　　． 當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值是．