【題目】如圖，把長為6，寬為3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度為3，矩形的對角線和三棱柱的側(cè)棱、的交點(diǎn)記為.

（1）在三棱柱中，若過三點(diǎn)做一平面，求截得的幾何體的表面積；

（2）求三棱柱中異面直線與所成角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和，利用表面積公式求解即可；

（2）延長到H，使，連結(jié)，可以證明出，所以異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角），利用余弦定理求值即可.

（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和.

又

又在三角形中，

∴

故

（2）延長到H，使，連結(jié)，所以有平行四邊形的性質(zhì)可知

，所以異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角）

在中，，

由余弦定值得

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【題目】已知是圓：上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線與半徑交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）記曲線與軸交于兩點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，直線，與曲線的另一個交點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn).

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（1）求的表達(dá)式；

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，并求出的表達(dá)式

（3）求的值，并說明的幾何意義.

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【題目】已知橢圓：，其中，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，射線：與橢圓的交點(diǎn)為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)橢圓的長半軸、短半軸的長分別為、，當(dāng)的值在區(qū)間中變化時(shí)，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，以為焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)且開口方向向左的拋物線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，四棱錐的體積，M是的中點(diǎn).

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求點(diǎn)B到平面的距離.

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【題目】某公司航拍宣傳畫報(bào)，為了凸顯公司文化，選擇如圖所示的邊長為2百米的正三角形空地進(jìn)行布置拍攝場景，在的中點(diǎn)處安裝中央聚光燈，為邊上得可以自由滑動的動點(diǎn)，其中設(shè)置為普通色彩燈帶(燈帶長度可以自由伸縮)，線段部分需要材料 (單位:百米)裝飾用以增加拍攝效果因材料價(jià)格昂貴，所以公司要求采購材料使用不造成浪費(fèi).

（1）當(dāng)，與垂直時(shí)，采購部需要采購多少百米材料？

（2）為了增加拍攝動態(tài)效果需要，現(xiàn)要求點(diǎn)在邊上滑動，且，則購買材料的范圍是多少才能滿足動態(tài)效果需要又不會造成浪費(fèi).

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【題目】設(shè)定義在上的函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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