【題目】設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為
階“期待數(shù)列”:①
;②
.
(1)分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”;
(2)若某2013階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)記階“期待數(shù)列”的前
項(xiàng)和為
,試證:
.
【答案】(1)數(shù)列,0,
為三階期待數(shù)列,數(shù)列
,
,
,
為四階期待數(shù)列;(2)
;(3)證明見解析.
【解析】
(1)數(shù)列,0,
為三階期待數(shù)列,數(shù)列
,
,
,
為四階期待數(shù)列.
(2)設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為,由于
,可得
,
,對
分類討論,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(3)當(dāng)時,顯然
成立;當(dāng)
時,根據(jù)條件①得:
,即
,再利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得出.
解:(1)數(shù)列,0,
為三階期待數(shù)列,
數(shù)列,
,
,
為四階期待數(shù)列.
(2)設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為,
,
,
,即
,
,
當(dāng)時,與期待數(shù)列的條件①②矛盾,
當(dāng)時,據(jù)期待數(shù)列的條件①②可得
,
,即
,
,
,
當(dāng)時,同理可得
,
,
.
(3)當(dāng)時,顯然
成立;
當(dāng)時,根據(jù)條件①得:
,
即,
,
,2,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上下兩個焦點(diǎn)分別為
,過點(diǎn)
與
軸垂直的直線交橢圓
于
兩點(diǎn),
的面積為
,橢圓
的長軸長是短軸長的
倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線
與
軸交于點(diǎn)
,與橢園
交于
兩個不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù)
,使得
,求
的取值范圍,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ln(a x)+bx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線是y=0;
(I)求函數(shù)f(x)的極值;
(II)當(dāng)恒成立時,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(e為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為矩形,平面
平面
,
,
,
,
為
中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn)
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
為橢圓上一動點(diǎn),當(dāng)
的面積最大時,其內(nèi)切圓半徑為
,設(shè)過點(diǎn)
的直線
被橢圓
截得線段
,
當(dāng)軸時,
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)為橢圓
的左頂點(diǎn),
是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的兩點(diǎn),設(shè)直線
的斜率分別為
,若
,試問直線
是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓長軸的一個端點(diǎn)是拋物線
的焦點(diǎn),且橢圓焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離是1。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓
的左右端點(diǎn),
為原點(diǎn),
是橢圓
上異于
的任意一點(diǎn),直線
分別交
軸于
,問
是否為定值,說明理由。
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