Question

【題目】函數(shù)， （）．

（Ⅰ）若，設，試證明存在唯一零點，并求的最大值；

（Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，得函數(shù)單調(diào)遞減，則零點至多一個；再根據(jù)零點存在定理說明至少一個零點，兩者結(jié)合得結(jié)論，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值（2）先變量分離得，再利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合圖像可得有且只有兩個整數(shù)的條件，即為實數(shù)的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）證明：由題知，

于是，

令，則（），

∴在上單調(diào)遞減．

又， ，

所以存在，使得，

綜上存在唯一零點．

當， ，于是， 在單調(diào)遞增；

當， ，于是， 在單調(diào)遞減．

故，

又， ， ，

故．

（Ⅱ）

令，則，

令，則在上單調(diào)遞增．

又， ，

∴存在，使得．

∴當， ，即， 在單調(diào)遞減；

當， ，即 ， 在單調(diào)遞增.

∵， ， ，

且當時， ，

又， ， ，

故要使不等式式解集中有且只有兩個整數(shù)， 的取值范圍應為： ．