【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)的普通方程為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于， 兩點(diǎn).

（Ⅰ）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；

（Ⅱ）已知點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程，與直線(xiàn)方程聯(lián)立，求出 點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程.則與相切時(shí)， 的最大面積，求出 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及三角形面積公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）曲線(xiàn)的普通方程為.

將直線(xiàn)代入中消去得， .

解得或.

所以點(diǎn)， ，

所以 .

（Ⅱ）在曲線(xiàn)上求一點(diǎn)，使的面積最大，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大.

設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程.

將代入整理得， .

令 ，解得.

將代入方程，解得.

易知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)， 的面積最大.

且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為 .

的最大面積為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為， ，求證為定值.

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（Ⅲ）判斷“”是“存在點(diǎn)，使得是等邊三角形”的什么條件？（直接寫(xiě)出結(jié)果）

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（Ⅰ）若該曲線(xiàn)表示一個(gè)橢圓，設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且斜率是，求直線(xiàn)與這個(gè)橢圓的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

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①為實(shí)數(shù)，若則；類(lèi)比推出: 為復(fù)數(shù)，若則.

② 若數(shù)列是等差數(shù)列， ，則數(shù)列也是等差數(shù)列；類(lèi)比推出：若數(shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列， ，則數(shù)列也是等比數(shù)列.

③ 若則； 類(lèi)比推出：若為三個(gè)向量，則.

④ 若圓的半徑為,則圓的面積為；類(lèi)比推出：若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,短半軸長(zhǎng)為,則橢圓的面積為.上述四個(gè)推理中，結(jié)論正確的是（ ）

A. ① ② B. ② ③ C. ① ④ D. ② ④

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