Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率是，且左頂點與右焦點F的距離為3．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點F的直線交橢圓C于A、B兩點，A、B在右準線l上的射影分別為M、N．

求證：AN與BM的交點在x軸上．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：設橢圓C的方程為() 　　則由，得 　　所以橢圓C的方程為……(6分) 　　(2)證明：①當AB垂直于軸時，AB的坐標分別為，，AN與BM的交點為在x軸上．…………(8分) 　�、诋擜B不垂直于x軸時，設直線AB的方程為， 　　代入橢圓，得 　　設，，則，， 　　且…………(10分) 　　∵直線AN方程是，直線BM方程是． 　　聯(lián)列，得，消去y，得：． 　　即即，……(12分) 　　把代入直線AN的方程　 　　得 　　 　　∴AN與BM交于點是x軸上一定點．…………(14分) 　　(2)解法二：如圖 　　設AF＝n，則AM＝2n，設BF＝m，則BN＝2m， 　　在△ABN和△BAM中，FH∥AM，FH1∥BN， 　　∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1 　　∴，…………(10分) 　　同理可推， 　　∴，…………(12分) 　　∴，∴H與H1重合∴AN與BM交點是x軸上一定點．…………(14分)