Question

已知橢圓+y²=1.

(1)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；

(2)過A(2，1)的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點軌跡方程；

(3)過點P(，)且被P點平分的弦所在直線的方程.

Answer 1

解:(1)設斜率為2的直線的方程為y=2x+b.由

得9x²+8bx+2b²－2=0,由(8b)²－4×9×(2b²－2)＞0得－3＜b＜3.

設平行弦的端點坐標為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),=－=－,－＜－＜.設弦的中點坐標為(x,y)，則

x==－，代入y=2x+b，得

x+4y=0(－＜x＜)為所求軌跡方程.

(2)設l與橢圓的交點為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，弦的中點為(x,y)，則+y₁²=1,+y₂²=1，兩式相減并整理得(x₁－x₂)(x₁+x₂)+2(y₁－y₂)(y₁+y₂)=0.

又∵x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y，

∴2x(x₁－x₂)+4y(y₁－y₂)=0.

∴x+2y·=0.                                                                                                  ①

由題意知=,

代入①得x+2y·=0,

化簡得x²+2y²－2x－2y=0.

∴所求軌跡方程為x²+2y²－2x－2y=0(夾在橢圓內的部分).

(注：設l的方程為y－1=k(x－2),仿(1)的解法也可)

(3)將x₁+x₂=1，y₁+y₂=1代入(x₁－x₂)·(x₁+x₂)+2(y₁－y₂)(y₁+y₂)=0得

=－.故所求的直線方程為2x+4y－3=0.