Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊分別是已知，求△ABC的面積．

Answer 1

解：由題意得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0時，則A=，B=，則a=2b，c=b，又c+b=2+，
所以b=，c=，所以S_△ABC=bcsinA=；
當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，①
又由余弦定理得：cos==，②
將①代入②，解得a=1或a=7+4＞b+c=2+（舍去），b=2，
此時c=，所以△ABC是直角三角形，所以S_△ABC=ac=，
綜上，△ABC的面積為或．
分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導公式化簡sinC+sin（B-A）=2sin2A，分cosA等于0和不等于0兩種情況考慮，當cosA等于0時，得到A和B的度數(shù)，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到a=2b，c=b，又c+b=2+，即可求出b和c的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；當cosA不等于0時，得到sinB=2sinA，根據(jù)正弦定理得到b與a的關系式，記作①，再根據(jù)余弦定理表示出cos的關系式，記作②，將①代入②即可求出a與b的值，進而得到c的值，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷得到△ABC是直角三角形，根據(jù)兩直角邊乘積的一半即可求出△ABC的面積，綜上，得到△ABC的面積的兩個值．
點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及三角形的面積公式化簡求值，靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，是一道中檔題．