Question

給出下列命題：
（1）導(dǎo)數(shù)f′（x₀）=0是y=f（x）在x₀處取得極值的既不充分也不必要條件；
（2）若等比數(shù)列的n項(xiàng)s_n=2ⁿ+k，則必有k=-1；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x的最小值為2；
（4）函數(shù)y=f（x）在[a，b]上必定有最大值、最小值；
（5）平面內(nèi)到定點(diǎn)（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）比如y=x³，y′=3x²，x=0不為極值點(diǎn)，由充分必要條件的定義，即可判斷；
（2）求出a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n＞1

，即可求出k；
（3）運(yùn)用基本不等式，注意等號(hào)成立的條件，即可判斷；
（4）比如常數(shù)函數(shù)在[a，b]上無最值，即可判斷；
（5）注意運(yùn)用拋物線的定義的隱含條件即定點(diǎn)不在定直線上，即可判斷．

解答： 解：（1）由f'（x₀）=0 推不出極值點(diǎn)，因?yàn)橛锌赡苁枪拯c(diǎn)（說明不充分），
比如y=x³，y′=3x²，x=0不為極值點(diǎn)；f（x）在x=x₀處取得極值，
但函數(shù)f（x）在R上不一定可導(dǎo)，故不能推出f′（x₀）=0，
故導(dǎo)數(shù)f′（x₀）=0是y=f（x）在x₀處取得極值的既不充分也不必要條件，故（1）對(duì)；
（2）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和s_n=2ⁿ+k，則a₁=2+k，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ+k-（2^n-1+k）=2^n-1，
a₁=1，故k=-1，故（2）對(duì)；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^-x=1，即x=0，取等號(hào)，
由于x＞0，故最小值取不到，故（3）錯(cuò)；
（4）比如常數(shù)函數(shù)在[a，b]上無最值，故（4）錯(cuò)；
（5）平面內(nèi)到定點(diǎn)（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點(diǎn)的軌跡是
過定點(diǎn)垂直于已知直線的一直線，而非拋物線，是因?yàn)槎�點(diǎn)在定直線上，故（5）錯(cuò)．
故答案為：（1）（2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系、拋物線的定義，注意隱含條件，考查基本不等式的運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和，屬于基礎(chǔ)題．