Question

已知函數(shù)f(x)=

a

xlnx

-

b

x

（x＞0，x≠1）的圖象經(jīng)過點(e，-

1

e

)，且f（x）在x=e處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）如果當(dāng)x＞0且x≠1時，

1

(x-1)[xf(x)+b]

＞

m

x+1

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f′（e）=0，又f（x）的圖象過點(e，-

1

e

)，可得f（e）=-

1

e

，求解方程，即可得到a，b的值；
（Ⅰ）將不等式

1

(x-1)[xf(x)+b]

＞

m

x+1

恒成立，轉(zhuǎn)化為

1

x-1

(lnx-

m(x-1)

x+1

)＞0，令g(x)=lnx-

m(x-1)

x+1

，對m分類討論研究g（x）的單調(diào)性，從而求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（I）∵函數(shù)f(x)=

a

xlnx

-

b

x

（x＞0，x≠1），
∴f′（x）=

-a(1+lnx)

(xlnx)2

+

b

x2

，
∵f（x）在x=e處的切線與x軸平行，
∴f′（e）=0，即

-a(1+lne)

(elne)2

+

b

e2

=0，
∴

-2a

e2

+

b

e2

=0，①
∵f（x）的圖象經(jīng)過點(e，-

1

e

)，
∴f（e）=-

1

e

，即

a

elne

-

b

e

=-

1

e

，
∴

a

e

-

b

e

=-

1

e

，②
由①②可得，a=1，b=2；
（II）由（I）可得，f（x）=

1

xlnx

-

2

x

，
∵

1

(x-1)(xf(x)+b)

＞

m

x+1

恒成立，即

lnx

x-1

＞

m

x+1

恒成立，
∴

1

x-1

(lnx-

m(x-1)

x+1

)＞0恒成立，
令g(x)=lnx-

m(x-1)

x+1

，
∴g′(x)=

1

x

-

2m

(x+1)2

=

(x+1)2 x -2m

x(x+1)2

，
∵

(x+1)2

x

≥4，
①當(dāng)m≤2時，g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，
∴當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＜0，當(dāng)x＞1時，g（x）＞0，
∴

1

x-1

(lnx-

m(x-1)

x+1

)＞0恒成立；
②當(dāng)m＞2時，g'（x）=0，x1=m-1+

m2-m

，x2=m-1-

m2-m

，
∴當(dāng)x∈（1，x₁）時，g'（x）＜0，
∴g（x）在x∈（1，x₁）上單調(diào)減，
∴g（x）＜0，
∴

1

x-1

(lnx-

m(x-1)

x+1

)＜0與

1

x-1

(lnx-

m(x-1)

x+1

)＞0矛盾，不符合題意，
綜合①②可得，實數(shù)m的取值范圍為m≤2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．