函數(shù)f(x)=
sin2x+1
1+
2
sin(x+
π
4
)
,x∈[0,
π
2
]
的值域是
 
分析:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
,結(jié)合已知x的范圍可求的范圍,且有t2=1+2sinxcosx,代入已知函數(shù)中有,f(x)=
sin2x+1
1+
2
sin(x+
π
4
)
=
2sinxcosx+1
1+sinx+cosx
=
t2
1+t

=
(1+t)2-2(1+t)+1
1+t
=t+1+
1
1+t
-2
[2,1+
2
]
單調(diào)遞增,從而可求.
解答:解:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
,t2=1+2sinxcosx
x∈[0,
π
2
]
∴x+
π
4
∈[
π
4
,
4
]

t∈[1,
2
]

從而有,f(x)=
sin2x+1
1+
2
sin(x+
π
4
)
=
2sinxcosx+1
1+sinx+cosx
=
t2
1+t

=
(1+t)2-2(1+t)+1
1+t
=t+1+
1
1+t
-2在[2,1+
2
]
單調(diào)遞增
當(dāng)t+1=2即t=1時(shí),此時(shí)x=0或x=
π
2
,函數(shù)有最小值
1
2

當(dāng)t+1=1+
2
即t=
2
時(shí)此時(shí)x=
π
4
,函數(shù)有最大值2
2
-2
故答案為:[
1
2
,2
2
-2]
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用同角平方關(guān)系建立sinx+cosx與sinxcosx之間的關(guān)系,從而可把已知函數(shù)化簡為用一個(gè)變量t表示的函數(shù),考查了利用分類常量及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值,綜合性較好.
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