Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；

（2）當時，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出導函數(shù)，分和兩種情況討論，判斷導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值即可；

（2）當時，由題即在上恒成立，令且，對分和兩種情況討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果.求解的取值范圍.

（1），.

①當時，，所以在上單調(diào)遞增，無極值；

②當時，令，得.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時，函數(shù)只有一個極值點.

綜上所述，當時，函數(shù)在上無極值點；

當時，函數(shù)在上只有一個極值點；

（2）當時，由題即在上恒成立，

令且，

則，

令，

則且.

（ⅰ）當時，即時，

由于，，而，

所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

即在上恒成立，故符合題意；

（ⅱ）當時，即時，

由于在上單調(diào)遞增，

令，因為，

故在上存在唯一的，使，

因此，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，

即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，與題意不符.

綜上所述，的取值范圍是.