Question

已知命題p：關于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解；命題q：f（x）=log₂（x²-2mx+

1

2

）在x∈[1，+∞）單調遞增；若“￢p”為真命題，“p∨q”是真命題，則實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：推理和證明

分析：首先，gj命題p為真命題時，求得實數m的取值范圍，然后，再根據命題q真命題，得實數m的取值范圍．最后，根據條件：?p為真命題，p∨q是真命題，得到p假q真，可得到實數m的取值范圍．

解答： 解：命題p：關于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解，令f（x）=x²-mx-2，則f（0）=-2，∴f（1）=-m-1＞0
解得 m≤-1．故命題P：m≤-1，∴￢p：m＞-1
命題q：f（x）=log₂（x²-2mx+

1

2

）在x∈[1，+∞）單調遞增，
?x²-2mx+

1

2

＞0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，且函數y=x²-2mx+

1

2

在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，
根據x²-2mx+

1

2

＞0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，得m＜

3

4

．由函數y=x²-2mx+

1

2

＞0，在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，得m≤1，故命題q：m＜

3

4

．
又∵?p為真命題，p∨q是真命題，得到p假q真，∴-1＜m＜

3

4

故答案為：（-1，

3

4

）

點評：本題考查了復合命題的判斷，復合函數的單調性，屬于中檔題．