Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=1代入函數(shù)，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性，進而可求出函數(shù)f（x）最大值；
（2）對參數(shù)a進行討論，然后利用導數(shù)f′（x）≤0（注意函數(shù)的定義域）來解答，方法一是先解得單調減區(qū)間A，再與已知條件中的減區(qū)間（1，+∞）比較，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答參數(shù)的取值范圍；方法二是要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，我們可以轉化為f′（x）≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立的問題來求解，然后利用二次函數(shù)的單調區(qū)間于對稱軸的關系來解答也可達到目標．
解答：解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），---------（1分）
∴-------------------（2分）
令f'（x）=0，即，解得或x=1．
∵x＞0，∴舍去．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0．---（6分）
（2）法一：因為f（x）=lnx-a²x²+ax其定義域為（0，+∞），
所以
①當a=0時，，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，不合題意----------（8分）
②當a＞0時，f'（x）＜0（x＞0）等價于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即．
此時f（x）的單調遞減區(qū)間為．
依題意，得解之得a≥1．-------------------（12分）
③當a＜0時，f'（x）＜0（x＞0）等價于（2ax+1）（ax-1）＞（x＞0），即•
此時f（x）的單調遞減區(qū)間為，
∴得（14分）
綜上，實數(shù)a的取值范圍是-----------（16分）
法二：∵f（x）=lnx-a²x²+ax，x∈（0，+∞）
∴
由f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，可得-2a²x²+ax+1≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．--------------8分
①當a=0時，1≤0不合題意----------------------------------10
②當a≠0時，可得即
∴-----------14分
∴----------------------------------16分
點評：本題以函數(shù)為載體，綜合考查利用函數(shù)的導數(shù)來解決有關函數(shù)的單調性、最值等問題的能力，考查已知函數(shù)的單調性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題，考查分類討論，函數(shù)與方程，配方法等數(shù)學思想與方法．