Question

已知　f(x)=

x

ex

（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）-k只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證

e(en-1)-n(e-1)

(e-1)2en

≤

n

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)的最值，結(jié)合f（x）-k只有一個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式求和，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：∵f(x)=

x

ex

，∴f′(x)=

ex-xex

(ex)2

=

1-x

ex

，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)遞減．
所以f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，1]，遞減區(qū)間是[1，+∞）．　…3分
（Ⅱ）解：①當(dāng)k≤0時(shí)，有2k＜ln2，∴e^2k＜2，∴

2

e2k

＞1，∴

2k

e2k

≤k，
因此f（2k）≤k≤0=f（0），等號(hào)在k=0時(shí)成立．
若k＜0，由f（x）在（-∞，1]上遞增知，存在唯一的x₀∈（2k，0），使得f（x₀）=k．
又x＞0時(shí)，f（x）＞0，所以當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）-k只有一個(gè)零點(diǎn)．…5分
②由（Ⅰ）知，f(x)max=f(1)=

1

e

，所以k=

1

e

時(shí)，f（x）-k只有一個(gè)零點(diǎn)．…6分
③當(dāng)0＜k＜

1

e

時(shí)，f（x）在（-∞，1]上遞增并結(jié)合（Ⅰ），存在一個(gè)x₁∈（0，1），使得f（x₁）=0．
若x＞1，設(shè)g（x）=ke^x-x，則g′（x）=ke^x-1，∴1＜x＜ln

1

k

時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，x＞ln

1

k

時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，∴g(x) min=g(ln

1

k

)=1-ln

1

k

＜0．
設(shè)h（x）=lnx-x，則h′(x)=

1-x

x

，0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，∴h（x）_max=h（1）=0，即x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx＜x．
∴g(ln

1

k4

)=keln

1

k4

-ln

1

k4

=

1

k3

-4ln

1

k

＞

1

k3

-

4

k

=

(1+2k)(1-2k)

k3

＞0
所以，在區(qū)間(ln

1

k

，ln

1

k4

)上存在一點(diǎn)x₂使得g（x₂）=0，即

x2

ex2

=k．
因?yàn)閒（x）在（1，+∞）上遞減，所以存在唯一x₂∈（1，+∞），使得g（x₂）=0，即f（x₂）=k．
所以f（x）-k在有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪{1}．…10分
（Ⅲ）證明：設(shè)a_n=f（n），S_n=a₁+a₂+…+a_n，則an=

n

en

且Sn=

1

e

+

2

e2

+

3

e3

…+

n

en

，
∴

1

e

Sn=

1

e2

+

2

e3

+

3

e4

+…+

n-1

en

+

n

en+1

∴(1-

1

e

)Sn=

1

e

+

1

e2

+

1

e3

+…+

1

en

-

n

en+1

=

1 e (1- 1 en )

1- 1 e

-

n

an+1

∴Sn=

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

．
由（Ⅰ）知f(x)max=f(1)=

1

e

，∴f(x)≤

1

e

，∴an=f(n)≤

1

e

，∴Sn≤

n

e

，
∴

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

≤

n

e

．…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．