Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為橢圓+=1d的右焦點，點A、B為拋物線上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（III）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，從而可求得拋物線的標準方程
證明：（Ⅱ）法一：設直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，y₁y₂，由，可求x₁x₂，而OA⊥OB可得===-1可求b，從而可求直線AB所經過的定點
法二：①當直線AB的斜率不存在時，易求直線AB的方程為x=4，
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0），聯(lián)立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，y₁y₂，由，可求x₁x₂，而OA⊥OB可得==-1可求b與k的關系，從而可求直線AB所經過的定點
（Ⅲ）可求點到直線x-y=0的距離：d=，結合方程的根與系數關系，代入整理，結合二次函數的性質可求d的最小值
解答：解：（Ⅰ）橢圓的右焦點（1，0），由題意知
∴p=2．…（2分）
拋物線的標準方程為y²=4x．…（3分）
證明：（Ⅱ）法一：設直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由    得y²-4my-4b=0．…（4分）
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．…（5分）
∵OA⊥OB，，
∴===-1，
∴b=4．…（7分）
∴直線AB的方程為x=my+4，該直線恒過定點M（4，0）．…（8分）
法二：①當直線AB的斜率不存在時，易求直線AB的方程為x=4，
直線AB過定點（4，0）．  …（4分）
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0），
由得ky²-4y+4b=0．
則．           …（5分）
∵OA⊥OB，，，
∴==
∴b=-4k．…（7分）
直線AB的方程為y=kx-4k=k（x-4）該直線恒過定點M（4，0）．…（8分）
（Ⅲ）點到直線x-y=0的距離：d=
==
===（10分）
∴m=時，d取最小值為．…（12分）
點評：本題主要考查了直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，點到直線的距離公式的應用及二次函數的性質的應用，屬于綜合試題