Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₇=4，a₁₉=2a₉（2）設b_n=

1

2nan

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

1

2nan

，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使s_n＞8-n成立的n的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項公式列出關于首項、公差的方程，代入通項公式化簡；
（2）由（1）和題意求出b_n，利用裂項相消法求出S_n，代入s_n＞8-n求出n的范圍，再由n取整數(shù)求出n的最小值．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則由a_n=a₁+（n-1）d得：

a7=a1+6d=4 a19=a1+18d=2(a1+8d)

，
解得a1=1，d=

1

2

，
所以{a_n}的通項公式為an=

n+1

2

-----------（4分）
（2）因為bn=

1

2nan

=

2

2n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，-----------（6分）
所以Sn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

---------------（8分）
由s_n＞8-n得1-

1

n+1

＞8-n，解得n＞3+

68

2

或n＜3-

68

2

又n∈N^*，所以滿足條件的n的最小值為8--------------------（10分）

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消法，屬于中檔題．