Question

△ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，=（2b-c，a），=（cosA，-cosC），且⊥．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）當y=2sin²B+sin（2B+）取最大值時，求角B的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由⊥，得•=0，從而（2b-c）cosA-acosC=0，（2分）
由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，2sinBcosA-sinB=0，
∵A、B∈（0，π），∴sinB≠0，cosA=，故A=．（5分）
（Ⅱ）y=2sin²B+2sin（2B+）=（1-cos2B）+sin2Bcos+cos2Bsin
=1+sin2B-cos2B=1+sin（2B-）．（8分）
由（Ⅰ）得，0＜B＜，-＜2B-＜，
∴當2B-=，即B=時，y取最大值2．（10分）
分析：（Ⅰ）根據平面向量垂直時平面向量的數量積為0，得到一個關系式，利用正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡，再利用誘導公式及sinB不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）把所求的式子利用二倍角的餓余弦函數公式及兩角和的正弦函數公式化簡，再利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質即可得到正弦函數的最大值進而得到y(tǒng)的最大值．
點評：此題考查學生掌握平面向量垂直時滿足的條件及平面向量的數量積的運算法則，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及二倍角的余弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的單調區(qū)間，是一道中檔題．