Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2；數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1-b_n=2^n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n和b_n的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1-a_n=2得數(shù)列{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出a_n，根據(jù)題意和累加法求出b_n；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出nb_n，再利用錯位相減法求出數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（I）因為a_n+1-a_n=2，所以數(shù)列{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，
又a₁=1，所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
因為b₁=1，b_n+1-b_n=2^n-1，
所以b2-b1=20，b3-b2=21，…，bn-bn-1=2n-2，
以上（n-1）個式子相加得，
bn-b1=20+21+…+2n-2=

1-2n-1

1-2

=2^n-1-1，
所以bn=2n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，nb_n=n•2^n-1，
所以T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項公式，累加法求數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．