Question

如圖，已知邊長為1的正方形ABCD位于第一象限，且頂點A、D分別在x，y的正半軸上（含原點）滑動，則

OB

•

OC

的最大值是

 

．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：令∠OAD=θ，由邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上，可得出B，C的坐標，由此可以表示出兩個向量，算出它們的內積即可．

解答： 解：如圖令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，
如圖∠BAX=

π

2

-θ，AB=1，故x_B=cosθ+cos（

π

2

-θ）=cosθ+sinθ，y_B=sin（

π

2

-θ）=cosθ
故

OB

=（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即

OC

=（sinθ，cosθ+sinθ），
∴

OB

•

OC

=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
∴

OB

•

OC

的最大值是2．
故答案為 2．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，設角引入坐標是解題的關鍵，由于向量的運算與坐標關系密切，所以在研究此類題時應該想到設角來表示點的坐標．