在數(shù)列{an}中,a1=2,anan+1-2an+1=0,bn=
2
an-1

(1)求證:{bn}為等差數(shù)列,并求bn;
(2)若數(shù)列{cn}滿足c1+
c2
3
+
c3
32
+…+
cn
3n-1
=bn
,求數(shù)列{ncn}的前n項和Tn
分析:(1)利用anan+1-2an+1=0,可得an+1=2-
1
an
.又bn=
2
an-1
.再證明bn+1-bn是一個常數(shù)即可.
(2)利用通項公式與前n項和公式可得cn,再利用“錯位相減法”即可得出Tn
解答:解:(1)∵anan+1-2an+1=0,∴an+1=2-
1
an

bn=
2
an-1

bn+1-bn=
2
an+1-1
-
2
an-1
=
2
1-
1
an
-
2
an-1
=
2an-2
an-1
=2

∴數(shù)列{bn}是以b1=
2
a1-1
=2
為首項,2為公差的等差數(shù)列.
∴bn=2+(n-1)×2=2n.
(2)當(dāng)n=1時,c1=b1=2;
當(dāng)n≥2時,聯(lián)立
c1+
c2
3
+
c3
32
+…+
cn
3n-1
=2n
c1+
c2
3
+
c3
32
+…+
cn-1
3n-2
=2n-2
,得
cn
3n-1
=2
,
cn=2•3n-1(n≥2),當(dāng)n=1時也成立.
cn=2•3n-1(n≥1),
ncn=2n•3n-1,
∴Tn=2(1+2•3+3•32+…+n•3n-1),
3Tn=2[3+2•32+…+(n-1)•3n-1+n•3n],
∴-2Tn=2(1+3+32+…+3n-1-n•3n)=2(
3n-1
3-1
-n•3n)

∴Tn=n•3n-
1
2
(3n-1)
=(n-
1
2
)•3n+
1
2
點(diǎn)評:本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、an與其前n項和公式Sn的關(guān)系、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
,an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a=
12
,前n項和Sn=n2an,求an+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

在數(shù)列{an}中,a,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn,證明:

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