在數(shù)列{a
n}中,
a1=2,anan+1-2an+1=0,bn=.
(1)求證:{b
n}為等差數(shù)列,并求b
n;
(2)若數(shù)列{c
n}滿足
c1+++…+=bn,求數(shù)列{nc
n}的前n項和T
n.
分析:(1)利用a
na
n+1-2a
n+1=0,可得
an+1=2-.又
bn=.再證明b
n+1-b
n是一個常數(shù)即可.
(2)利用通項公式與前n項和公式可得c
n,再利用“錯位相減法”即可得出T
n.
解答:解:(1)∵a
na
n+1-2a
n+1=0,∴
an+1=2-.
又
bn=.
∴
bn+1-bn=-=-==2,
∴數(shù)列{b
n}是以
b1==2為首項,2為公差的等差數(shù)列.
∴b
n=2+(n-1)×2=2n.
(2)當(dāng)n=1時,c
1=b
1=2;
當(dāng)n≥2時,聯(lián)立
,得
=2,
∴
cn=2•3n-1(n≥2),當(dāng)n=1時也成立.
∴
cn=2•3n-1(n≥1),
ncn=2n•3n-1,
∴T
n=2(1+2•3+3•3
2+…+n•3
n-1),
3T
n=2[3+2•3
2+…+(n-1)•3
n-1+n•3
n],
∴-2T
n=2(1+3+3
2+…+3
n-1-n•3
n)=
2(-n•3n),
∴T
n=
n•3n-(3n-1)=
(n-)•3n+.
點(diǎn)評:本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、an與其前n項和公式Sn的關(guān)系、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在數(shù)列{a
n}中,
=1,
an=an-1+1(n≥2),則數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=
2-21-n
2-21-n
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
在數(shù)列{a
n}中,a
1=,并且對任意n∈N
*,n≥2都有a
n•a
n-1=a
n-1-a
n成立,令b
n=
(n∈N
*).
(Ⅰ)求數(shù)列{b
n}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
}的前n項和為T
n,證明:
≤Tn<.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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在數(shù)列{a
n}中,a=
,前n項和S
n=n
2a
n,求a
n+1.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
在數(shù)列{a
n}中,a
1=a,前n項和S
n構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.
(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
在數(shù)列{a
n}中,a
,并且對任意n∈N
*,n≥2都有a
n•a
n-1=a
n-1-a
n成立,令b
n=
(n∈N
*).
(Ⅰ)求數(shù)列{b
n}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
}的前n項和為T
n,證明:
.
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