已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上的點P到左、右兩焦點F1、F2的距離之和為2
2
，離心率e=
2
2

（I）求橢圓的方程；
（II）過右焦點F2且不垂直于坐標軸的直線l交橢圓于A，B兩點，試問：險段OF2上是否存在一點M，使得|MA|=|MB|？請作出并證明．
分析：（I）根據(jù)點P到左、右兩焦點F1、F2的距離之和求得a，進而根據(jù)離心率e求得c，再根據(jù)b=
a2-c2
求得b，橢圓的方程可得．
（II）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），以及AB的中點C（x0，y0），根據(jù)韋達定理可得x1+x2的表達式，根據(jù)x0=
x1+x2
2
進而可得x0和y0的表達式，再根據(jù)設(shè)滿足條件的點M（m，0），根據(jù)CM⊥AB，kCM•kAB=-1，代入即可得到m和k的關(guān)系式，進而根據(jù)k的范圍確定m的范圍，進而判斷存在滿足條件的點M．
解答：解：（I）橢圓的方程圓
x2
a2
+
y2
b2
=1設(shè)a＞b
∵點P到左、右兩焦點F1、F2的距離之和為2
2
，
∴2a=2
2
，a=
2

∵離心率e=
c
a
=
2
2
，
∴c=1，b=
a2-c2
=1
∴所求橢圓的方程為
x2
2
+y2= 1
（II）存在滿足條件的M，
證明：設(shè)直線的方程為y=k（x-1）（k≠0）
由
x2+2y22
y=k(x-1)

可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），以及AB的中點C（x0，y0），
∴x1+x2=
4k2
1+2k2

∴x0=
x1+x2
2
=
2k2
1+2k2
，y0=k（x0-1）=-
k 
1+2k2

再設(shè)滿足條件的點M（m，0），則0≤m≤1，
所以CM⊥AB，則kCM•kAB=-1
由kCM=
k 
1+2k2
-0
2k2
1+2k2
-m
=
-
k 
1+2k2
2k2
1+2k2
-m

∴
-
k 
1+2k2
2k2
1+2k2
-m
•k=-1，解得m=
1
2+
1
k2

∵k2＞0，可得0＜m＜
1
2
，故存在滿足條件的點M．
點評：本題主要考查了橢圓與直線的關(guān)系和橢圓的標準方程問題．圓錐曲線的問題是歷年來高考中重點考查的題型，故應(yīng)加強這方面的復(fù)習．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案