Question

設(shè)雙曲線C以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點為焦點，且雙曲線C的一條漸近線是y=

3

x．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同兩點E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以P（0，3）為圓心的圓上，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點，可得雙曲線C的兩個焦點，利用雙曲線C的一條漸近線是y=

3

x，可求幾何量，從而可求雙曲線C的方程；
（2）直線y=kx+m代入雙曲線方程，進(jìn)而求出G的坐標(biāo)，根據(jù)E、F兩點都在以P（0，3）為圓心的同一個圓上，可得k²=

9-4m

3

，代入（3-k²）x²-2kmx-（m²+12）=0，即可確定實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）依題雙曲線C的兩個焦點分別為F₁（-4，0）、F（4，0），∴c=4，
又雙曲線C的一條漸近線是y=

3

x，∴

b

a

=

3

，
∴a²=c²-b²=4，
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）設(shè)E（x₁，y₂），F(xiàn)（x₂，y₂），則
由

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

，消去y整理得：（3-k²）x²-2kmx-（m²+12）=0（*）
依題意得

3-k2≠0 △=4k2m2+4(3-k2)(m2+12)＞0

，
設(shè)EF的中點為G（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=

km

3-k2

，
又∵點G在直線y=kx+m上，
∴y0=kx0+m=

3m

3-k2

，
∴G(

km

3-k2

，

3m

3-k2

)
∵E、F兩點都在以P（0，3）為圓心的同一個圓上，
∴GP⊥EF，即k_GP•k=-1，
∴

3m 3-k2 -3

km 3-k2

•k=-1，整理得k²=

9-4m

3

，
代入（*）式得

3- 9-4m 3 ≠0 △=4m2• 9-4m 3 +4(3- 9-4m 3 )(m2+12)＞0

解得m＞0或 m＜-

16

3

，
又k²=

9-4m

3

＞0，m＜

9

4，

故所求m的取值范圍是（-∞，-

16

3

）∪（0，

9

4

）．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．