Question

已知函數(shù)f（x）=。
（1）設(shè)a>0，討論y=f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）>1，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）
對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)得
（i）當(dāng)a=2時(shí)

f'（x）在（-∞，0），（0，1）和（1，+∞）上均大于0，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數(shù)；
（ii）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f'（x）>0，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數(shù)；
（iii）當(dāng)a>2時(shí)，
令f'（x）=0，解得

當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

f（x）在內(nèi)為增函數(shù)
f（x）在內(nèi)為減函數(shù)。
（2）（i）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（1）知：對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）>f（0）=1
（ii）當(dāng)a>2時(shí)，取，則由（1）知f（x₀）＜f（0）=1
（iii）當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1），恒有且e^-ax≥1
得
綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈（-∞，2]時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）>1。