設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且
AF2
•
F1F2
=0，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線l交x軸于點(diǎn)F（-1，0），交y軸于點(diǎn)M，若|MQ|=2|QF|，求直線l的斜率．
分析：（1）題設(shè)知F1和F2的坐標(biāo)，根據(jù)
AF2
•
F1F2
=0，推斷有
AF2
⊥
F1F2
，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為根據(jù)原點(diǎn)O到直線AF1的距離求得a，進(jìn)而求得b．答案可得．
（2）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)Q（x1，y1），由于Q，F(xiàn)，三點(diǎn)共線，且|MQ|=|2QF|．進(jìn)而可得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y），求得x1和y1，代入橢圓方程即可求得k，進(jìn)而得到直線斜率．
解答：解：（1）由題設(shè)知F1（-
a2-2
，0），F(xiàn)2（
a2-2
，0），其中a＞
2

由于
AF2
•
F1F2
=0，則有
AF2
⊥
F1F2
，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（
a2-2
，±
2
a
）
故AF1所在直線方程為y=±（
x
a
a2-2
+
1
a
），所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
a2-2
a2-1
，
又|OF1|=
a2-2
，所以
a2-2
a2-1
=|=
1
3
a2-2
，解得：a=2．
∴所求橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
 =1．
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），故M（0，k）．
設(shè)Q（x1，y1），由于Q，F(xiàn)，三點(diǎn)共線，且|MQ|=|2QF|．
根據(jù)題意得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1），解得
x1=-2
y1=-k
或
x1=-
2
3
y1=
k
3

又Q在橢圓C上，故
4
4
+
k2
2
=1或
4
9
4
+
(
k
3
)2
3
=1，
解得k=0，k=±4，綜上，直線的斜率為0或±4
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．常需要直線方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求得問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過(guò)A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案