Question

已知曲線C：y=x²（x＞0），過C上的點A₁（1，1）作曲線C的切線l₁交x軸于點B₁，再過B₁作y軸的平行線交曲線C于點A₂，再過A₂作曲線C的切線l₂交x軸于點B₂，再過B₂作y軸的平行線交曲線C于點A&₃，…，依次作下去，記點A_n的橫坐標為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=（8-2n）a_n，設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：0＜T_n≤4．

Answer 1

【答案】分析：（I）由y'=2x（x＞0）．知切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以．依題意點A_n+1在直線上，所以數(shù)列{a_n}是1為首項，為公比的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由，知．由錯位相減法能導出，n≥2時，．由n≥2時，T_n≤T_n-1，知T_n≤T_n-1≤…≤T₂，由此能夠證明0＜T_n≤4．
解答：解（I）∵y'=2x（x＞0）．∴曲線C在點A_n（a_n，a_n²）處的切線l_n的斜率為k_n=2a_n．
∴切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y=0得   ，
∴．
依題意點A_n+1在直線上，
∴又a₁=1．（4分）
∴數(shù)列{a_n}是1為首項，為公比的等比數(shù)列．
∴．（5分）
（Ⅱ）由已知．
∴．①．②
①-②得==．（9分）
∴（10分）
又n≥2時，．
又當n≥2時，T_n≤T_n-1．
∴T_n≤T_n-1≤…≤T₂．
∴當n=2時，T₁=T₂=4．
∴（T_n）_max=T₂=4，∴T_n≤4．（13分）
綜上0＜T_n≤4．（14分）
點評：本題考查通項公式的求法和求證：0＜T_n≤4．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．