Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+lnx+b（a，b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x+y+2=0，求實數(shù)a，b的值；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵f（x）=x²-ax+lnx+b
∴…（2分）
∴f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a…（4分）
（1）∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x+y+2=0
∴
解得：a=4，b=0．…（7分）
（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定義域為{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增
∴＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允許個別點處等于零） …（9分）
∵＞0（x＞0）即2x²-ax+1＞0
令g（x）=2x²-ax+1，則其對稱軸方程是．
當(dāng)即a≤03時，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增
∴g（x）在區(qū)間[0，+∞）上有g(shù)（x）_min=g（0）=1＞0，滿足條件．…（11分）
當(dāng)＞0即a＞0時，g（x）在區(qū)間上遞減，g（x）在區(qū)間上遞增，
則（a＞0）…（13分）
解得：0＜
綜上所得，…（14分）
另解：（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定義域為{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增
∴＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允許個別點處取到等號）…（9分）
∵＞0（x＞0）即（允許個別值處取到等號）…（10分）
令，則a≤g（x）_min，…（11分）
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取到等號．…（13分）
所以 ，所以…（14分）
分析：對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a
（1）由題意可得可求a，b
（2）由題意可得≥0在x∈（0，+∞）恒成立即2x²-ax+1≥0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求a的范圍；
另解由題意可得≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即a≤2x+，利用基本不等式求解2x+的最小值，進(jìn)而可求a的范圍．
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的 應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用及恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．