Question

（本題滿(mǎn)分14分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)也是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)。     

  （1）求橢圓方程；

  （2）若直線(xiàn)與相交于、兩點(diǎn)。

①若,求直線(xiàn)的方程；

②若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，問(wèn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡能否與橢圓存在公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

    

解析:

（1）根據(jù)，即，據(jù)得，故，

所以所求的橢圓方程是。（3分）

   （2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，檢驗(yàn)知。設(shè)，

根據(jù)得得。

設(shè)直線(xiàn)，代入橢圓方程得，

故，得，

代入得，即，

解得，故直線(xiàn)的方程是。  （8分）

②問(wèn)題等價(jià)于是不是在橢圓上存在點(diǎn)使得成立。

當(dāng)直線(xiàn)是斜率為時(shí)，可以驗(yàn)證不存在這樣的點(diǎn)，

故設(shè)直線(xiàn)方程為。（9分）

用①的設(shè)法，點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

若點(diǎn)在橢圓上，則，

即，

又點(diǎn)在橢圓上，故，

上式即，即，

由①知

，

代入得，

解得，即。（12分）

當(dāng)時(shí)，，

；

當(dāng)時(shí)，，

。

故上存在點(diǎn)使成立，

即動(dòng)點(diǎn)的軌跡與橢圓存在公共點(diǎn)，

公共點(diǎn)的坐標(biāo)是。（14分）