Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，焦距2c=4，過(guò)點(diǎn)（2，3），
（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線(xiàn)方程．
（2）直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由已知得：

2c=4 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a，b，c即可．
（2）聯(lián)立

y=kx+1 3x2-y2=3

消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．分當(dāng)3-k²=0時(shí)，與當(dāng)3-k²≠0時(shí)，△=0．解得k即可．

解答：解：（1）由已知得：

2c=4 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得

c=2 a=1，b2=3

．
∴雙曲線(xiàn)的方程為x2-

y2

3

=1，
雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)：y=±

3

x．
（2）聯(lián)立

y=kx+1 3x2-y2=3

消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．
當(dāng)3-k²=0時(shí)，即k=±

3

，x=-

2

k

，
此時(shí)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，滿(mǎn)足題意．        
當(dāng)3-k²≠0時(shí)，△=4 k²-4（3-k²）（-4）=0．解得k=±2．
綜上所述k=±

3

或k=±2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相交問(wèn)題掌握方程聯(lián)立利用△與的關(guān)系、分類(lèi)討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．