Question

已知曲線y=x² 在點(diǎn)（n，n²） 處的切線方程為，其中n∈N^*
（1）求a_n、b_n 關(guān)于n 的表達(dá)式；
（2）設(shè)，求證：；
（3）設(shè)，其中．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得y′=2x，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線斜率k，進(jìn)而可得切線方程，即可
（2）由，利用裂項(xiàng)求和可證
（3）由 可得，，由0＜λ＜1可得 可證
解答：解：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得y′=2x，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)（n，n²）處的切線斜率k=2n
故所求切線方程為y-n²=2n（x-n） 即 
∴ 
（2） 
當(dāng)n=1 時(shí)，左邊= 右邊，不等式成立；…（6分）
當(dāng)n≥2 時(shí)， 
=
∴ 
（3） 
， 
∵0＜λ＜1，∴，∴ 
所以  

∵，＜1，
∴，
∴
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在一點(diǎn)的切線方程，數(shù)列求和的裂項(xiàng)求和及放縮法證明不等式的知識(shí)的綜合應(yīng)用