Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a+m）x+alnx，且f′（1）=0，其中a、m∈R．
（1）求m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先解出函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x-（a+m）+

a

x

，再由f′（1）=0建立方程即可求出m的值；
（2）由（1）可得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

x2-(a+1)+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，比較a與1，0的大小，分為三類討論得出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-（a+m）+

a

x

…（2分）
由f′（1）=0得1-（a+m）+a=0，解得m=1．…（4分）
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

x2-(a+1)+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

…（6分）
當a＞1時，由f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，
此時f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）和（0，1）…（9分）
當a=1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．…（11分）
當0＜a＜1時，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，
此時f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）和（0，a）．…（14分）
當a≤0時，由f′（x）＞0得x＞1，此時f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
綜上，當a＞1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）和（0，1）；當a=1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；當0＜a＜1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）和（0，a）；當a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．…（16分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想及高次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是理解導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的對應，本題中解不等式也是一個計算難點，可分區(qū)間討論解出不等式的解集從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間