Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，點E是CD的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥面PBD：
（Ⅱ）求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出四邊形DEBA為正方形，PO⊥平面ABCD，由此能證明AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，過A且與面AC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：E為CD中點，四邊形DEBA為菱形，
在直角三角形PBD中，BD=2

2

，
∴AB²+AD²=8=BD²，∴AB⊥AD，
∴四邊形DEBA為正方形，∴AE⊥BD，
由已知得PA=PB=PD=2，
∴點P在底面ABCD內(nèi)的射影O是△ABD的外心，
又AB⊥AD，∴O為BD中點，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AE，
又PO與BD是平面PBD的兩條相交直線，
∴AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，過A且與面AC垂直的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，

2

），
∴

DC

=(0，4，0)，

DP

=(-1，1，

2

)，

BC

=(2，2，0)，
設(shè)平面PCD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • DC =0 n • DP =0

，∴

4y=0 -x+y+ 2 z=0

，
令x=

2

，得y=0，z=1，∴

n

=(

2

，0，1)，
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

| n |•| BC |

=

2 2

3 • 8

=

3

3

，
∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．